Fermes treillis et autres poutres.

[BURLINGTON]

Sur le fil « Echelle 0 : réalisation d'une remise » nous avons évoqué les fermes treillis de toiture de bâtiment.
Je vous propose donc sur ce fil de parler de ces structures et plus généralement des structures porteuses aux quelles les fermes de toiture appartiennent.
Tout d’abord un petit rappel de conception qui permet de comprendre la forme de ces structures.
Une première évidente pour les fermes de toiture, c’est leurs pentes. Evacuation des eaux oblige. Les autres formes sont le résultat de deux sciences.
1) La physique et plus particulièrement la statique ou équilibre des corps au repos.
2) La résistance des matériaux (RDM) qui comme son nom l’indique est relative aux matériaux utilisés pour la construction.

Dans la statique, il y a deux parties
1) L’équilibre des actions extérieures. Efforts appliqués (les charges tels le poids propres, la neige, le vent, les véhicules, etc) et les réactions d’appuis (massif de fondation) Tout cela doit être en équilibre pour des raisons évidentes. Ces notions sont connues depuis très longtemps (Antiquité voir plus ancien)
2) L’équilibre des forces internes (statique des milieux continus). Cet équilibre résulte de l’équilibre des forces de liaison des éléments constituants la matière elle-même. Cette notion est plus récente (16ème siècle jusqu’au début du 20ème)

L’étude de la RDM est plus récente bien que pressentie depuis l’antiquité. Première notion au 17ème siècle puis développement jusqu’au début du 20ème siècle. Dans la RDM une première partie est très proche de la deuxième partie de la statique (statique des milieux continus) puisqu’elle fait abstraction du matériau physique lui même en appliquant une série d’hypothèses que le matériau devra lui-même vérifier ou pas.

J’espère ne pas avoir été trop pénible à lire pour cette partie un peu fastidieuse mais, à mon avis, nécessaire pour comprendre la suite que je vous proposerai dans un prochain message.

Je vous y parlerai donc des fermes et poutres treillis ou non en acier. Pourquoi en acier ? Parce que ça a été mon métier pendant plus de 40 ans et c’est donc la partie que je connais le mieux. Mais ces notions restent valables pour tous les matériaux de construction à la seule restriction qu’ils répondent à la série d’hypothèses citée précédemment. Hypothèses qui conditionnent la technologie de constructions de chaque matériau. (Acier, bois, béton, verre, etc)
A suivre si vous le souhaitez. Merci de vos remarques.

[François D]

Voilà une belle idée de discussion !

Il y a des choses absolument passionnantes sur le sujet. Je vais te laisser nous exposer les bases pour la compréhension générale. Je poserai mes questions plus tard.
J'en ai une qui me tient à coeur depuis un moment sur les rotondes PLM circulaires après dépose de leur coupole...
Bref tout un programme.

(pourquoi avoir placé ce fil dans un recoin du forum ? )

[BURLINGTON]

Merci pour ta réponse et aux lecteurs.
J'ai placé ce fil ici car je pense qu'il est généraliste. Maintenant, s'il est plus approprié dans la section décor, je ne vois aucun inconvénient pour que Rodolphe ou qu'un homme en vert le déplace.
Je prépare la suite.

[BURLINGTON]

La suite
Pas facile d’être simple et didactique.
On continue.
Dans la théorie des poutres, on utilise pour matérialiser les efforts de cohésion internes un torseur à 6 composantes. Voir cet article de Wikipédia. On peut réduire ce torseur à trois composantes dès lors qu’on étudie la structure sans un système plan (2D).
A remarquer que c’est majoritairement en 2D que les structures ont été étudiées jusqu’à récemment. Il a fallu attendre les ordinateurs et les logiciels associés de ces dernières décennies pour faire du calcul 3D. Y compris l’analyse et les vérifications de chaque élément.
Même encore aujourd’hui une très grande partie du dimensionnement des structures courantes se fait en 2D.
Mais revenons à nos fermes et poutres.
Nous avons vu qu’en 2D nous un torseur d’efforts internes réduit à trois composantes qui sont :
- L’effort normal
- L’effort tranchant
- Le moment de flexion.
Pour l’illustration de ces efforts je vous propose ces trois schémas issus de Wikipédia.
Effort normal et contraintes

Effort tranchant et contraintes

Moment fléchissant et répartition des contraintes

Pour la notion de contrainte, voir le deuxième paragraphe ci-dessous

Faire une étude 2D ne veut pas dire qu’en réalité, qui est elle en 3D, les trois autres composantes n’existent mais simplement qu’elles sont nuls ou négligeables. Et ce de par la conception de la structure.

En fait, ce torseur à 3 composantes (2D) se retrouve à chaque grain de la matière. Au droit d’une section la poutre la somme de ces torseurs donne un torseur général de la section.
Le torseur appliqué à chaque grain est une contrainte de la dimension d’une pression. Effort par unité de surface exprimé en Pascal ou en pratique en MégaPascal (Mpa). La somme de ces contraintes par la surface de la section donne des efforts exprimé selon le type en Newton (N) ou en Newton mètre (Nm). On voit bien cette notion sur les schémas ci-dessus.

Voilà pour ce message.
N’ayez pas, peur on se rapproche des poutres et fermes treillis.
A suivre….

[joseph]

On suit! ça me faire désoxyder quelques souvenirs...
Par contre, j'ai bien peur que lorsque tu vas attaquer les calculs, certains n'aient pas d'écran assez large pour faire tenir l'équation...

[BURLINGTON]

Rassure toi, je ne vais pas parler de calcul Je pense que ça n'a pas beaucoup d'intérêt pour la majeur partie des lecteurs. Par contre le pourquoi on en est venu à ces formes est, je pense, intéressant. Et le pourquoi ne peut s'expliquer par ce qui se passe dans la matière.
bon, je prépare la suite.

[Soldier of fortune]

C'était mon métier, Projeteur, avant que je décide sur un coup de tête d'aller emmerder les gosses dans les écoles. Ils me le rendent bien d'ailleurs.
T'as intérêt à être précis parce que je te raterai pas...

[François D]

On suit! ça me faire désoxyder quelques souvenirs...
Par contre, j'ai bien peur que lorsque tu vas attaquer les calculs, certains n'aient pas d'écran assez large pour faire tenir l'équation...

C'est sûr que si vous commencez à nous proposer du calcul intégral (je me réfère à l'article de Wiki), je vais vite être largué. Pour le moment, j'arrive encore à peu près à suivre. L'essentiel est de ne pas arriver au point de rupture !

En ce qui me concerne, j'attends la suite avec impatience.
Rassure moi : n'y aura pas de QCM ? parce que moi, je suis en auditeur libre...

(...et je réitère mon souhait de voir placé ce fil très intéressant dans une zone plus accessible du forum)

[joseph]

Eh bien alors? même pas tenté par un petit calcul du moment quadratique d'une section?
Sans rire, autant les torseurs ne me poseraient pas de soucis en m'y replongeant, autant le calcul de déformation de la poutre me poserait de sérieux problèmes... c'est un peu loin tout ça et sans l'utiliser, on perd.

Bref on attend avec impatience la suite de l'article.

[BURLINGTON]

Voilà, voilà on en arrive aux poutres.
Tout d’abord, le constructeur a utilisé des éléments simples. Pierre, bois puis le fer et enfin récemment le béton, le verre, les matériaux composites, etc.
Les formes utilisées ont commencé par être simple (rectangle pour la pierre et le bois, rond pour le bois directement issu d’un tronc d’arbre)
A noter que pour la pierre, elle a été utilisée sous forme de poutre (voir les temples grecs et romains) ou sous forme d’arc. Les arcs étant des poutres de forme particulière qui répondent aussi à la théorie des poutres.
Voici quelques poutres de forme basique.

On y trouve une section rectangulaire utilisée en bois, pierre, béton voir en métal dans sa version creuse (tube). Puis la section en I ou H utilisé en métal et béton, plus rarement en bois.
Pourquoi une forme en I ou H ? La différence entre les deux appellations tient plus des habitudes que d’une réalité physique. Nous utiliserons le H
Rappelons-nous des 3 composantes du torseur des efforts internes, en 2D, qui sont :
- L’effort normal
- L’effort tranchant
- Le moment de flexion.
Ces trois composantes sont existantes dans toutes les sections d’une poutre.
Par exemple dans cette poutre en console.

Lorsque qu’on coupe cette poutre en C, on trouve les efforts C2/1, Mc2/1 d’un coté et des efforts égaux mais opposées C1/2 et Mc1/2 de l’autre coté pour rester en équilibre. Et la troisième composante ? Elle est nulle, et n’a donc pas été représentée sur cet exemple, car il n’y a pas d’effort extérieur horizontal appliqué.
Vous allez me dire que ceci n’explique pas la forme en I ou H des poutres. Et bien oui car ces efforts dans chaque section (forme de la poutre) s’applique sous forme de contrainte. Rappelez-vous les contraintes de chaque grain de la section. La forme optimisée, de la section de la poutre, en a été déduite.
Les efforts normaux et tranchants se répartissent d’une façon uniforme sur toute la section. Sa forme n’a donc quasiment pas d’influence.
Par contre la répartition des contraintes de flexion est linéaire en fonction de la hauteur.Rappelez vous ce schéma.

On comprend très vite que les grains extérieurs (haut et bas) ont plus d’influence que les grains du milieu. Par effet de bras de levier (force par distance de celle ci au milieu de la section) Si la matière du milieu ne sert pas beaucoup, enlevons la et allégeons la poutre. Gardons que ce qui est nécessaire à lier les éléments extérieurs de la section.
Dans une section en H telle celle ci-dessous.

Les parties horizontales sont appelées « ailes ou semelles » mais aussi « membrures ». Cette dernière appellation nous rapproche des poutres treillis comme nous le verrons bientôt.
La partie verticale est appelé « âme »
Dans une telle section on s’aperçoit, par le calcul, que les ailes reprennent principalement le moment de flexion, l’âme l’effort tranchant et la totalité de la section l’effort normal (compression ou traction)
Nous verrons, dans mon prochain message, comment on passe d’une poutre en section H à une poutre treillis puis à une ferme treillis objet du sujet initial.
A suivre et plaisir de lire vos remarques et questions.